¿Cómo puedes medir la Tierra con la cinta métrica de tu madre, y a
la vez, demostrar que no es plana?
La solución a esta estúpida pregunta es sencilla:
El experimento de Eratóstenes.
Eratóstenes
es famoso porque calculó con mucha precisión el
tamaño de la Tierra en el siglo III a.c. tan sólo
midiendo la sombra de su bastón, un par de datos y
con una
deducción matemática muy elegante.
Aprovechando un viaje que iba a hacer a Londres quise realizar el mismo
experimento, y con la cinta
métrica de mi madre y la antena de una vieja radio (algo
fino y
largo que pudiese pasar los controles del aeropuerto), me propuse medir
la Tierra.
El fundamento es muy sencillo. El sol esta muy muy lejos de la Tierra
(147 millones de kilómetros) por lo que sus rayos nos llegan
paralelos.
Por lo tanto, si la Tierra fuese plana, a la misma hora en Londres y en
Ávila, la sombra que proyectase un palo del mismo
tamaño
(verde) sobre el suelo sería igual (morado):
Pero si la Tierra fuese redonda, las sombras proyectadas por los dos
palos del mismo tamaño en Londres y en Ávila
serían de distinto tamaño.
Luego, midiendo
la longitud
de la sombra de la antena a la misma hora en Ávila y en
Londres
y comprobando que las longitudes son diferentes se demuestra que la
Tierra es redonda.
Pero ahí no acaba todo. Conociendo la diferencia en las
longitudes de las sombras se puede conocer también el
tamaño de la Tierra:
esto se descubre a través de una sencilla razón
matemática:
Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta, los
ángulos interiores alternos son iguales:
Es decir, los
ángulos a, b, c y d son iguales.
Nosotros ya tenemos las rectas paralelas, son los rayos del sol, y la
tercera línea, que cruza a las rectas paralelas, es la
línea imaginaria
que surge de la prolongación del palo con el que mido hasta
el
centro de la Tierra:
Como hemos
visto, los
ángulos a y b son iguales, por lo tanto, una vez conocido el
ángulo a y sabiendo la distancia entre Ávila y
Londres,
podemos calcular rápidamente el radio de la tierra.
Este es el planteamiento teórico de la medición,
pero
llevarlo a la práctica no fácil y he tenido
varios
problemas, que he ido solucionando de manera más o menos
elegante.
El primero es sencillito, en el diagrama de arriba supongo que el sol
incide sobre Londres de forma perpendicular, y eso no ocurre. Para
solucionarlo, supongo que el ángulo a es la diferencia de
los
ángulos de Londres y Ávila.
El segundo problema es que las mediciones en Ávila y en
Londres
deben ser a la vez o el mismo día del año,
y yo no
tenía a nadie que midiese en Ávila a la vez que
medía en Londres y no me podía esperar un
año a
que esté la tierra en la misma posición, por lo
que hice las
mediciones el día antes de irme y el primer día
en Londres y el
último día en Londres y el día
siguiente a mi
regreso, de tal forma que este error fuese mínimo.
Y el tercer problema es que Londres no está en el mismo
meridiano que Ávila (en la misma longitud), por lo que
miré en
un mapa la diferencia de longitudes y calculé el tiempo que
tarda el sol en estar en la misma posición para
Ávila que
para Londres, sabiendo que el sol tarda 24 horas en recorrer
360º:
Longitud
Londres: 0º 4' 56'' O
Longitud
Ávila: 4º 40' 21'' O
Diferencia: 4º 35' 25''
Tiempo
que tarda el sol en recorrer los 4º 35' 25'':
$$ 4^\circ 35' 25'' \times \frac{24 \text{h}}{360^\circ} = 18 \text{min} $$
Por lo que
medí la longitud de la sombra 18 minutos más
tarde que la hora a la que medía en Londres.
Hice todas estas mediciones (la primera es evidente que
anoté mal la longitud de la sombra, la mayoría no
sirven
para nada, las hice a diferentes horas para tener más
posibilidades a la hora de medirlo en los dos sitios y las que
están en negrita son las que he utilizado)
Ávila 11 - 4 - 2007
18:44 Antena:
48 cm
Sombra:
135
cm
Ángulo: 70º 25'
36,75''
Londres 12 - 4 - 2007
15:39 Antena:
48 cm
Sombra: 52
cm
Ángulo:
47º 17' 26,2''
18:44 Antena:
48 cm Sombra: 135
cm
Ángulo: 70º 25'
36,75''
Greenwich (0º) 15 - 4 - 2007
18:36 Antena:
48 cm
Sombra: 131
cm
Ángulo: 69º 52'
35,58''
18:44 Antena:
48 cm
Sombra: 133
cm
Ángulo: 70º 9'
19,34''
Londres 16 - 4 - 2007
14:20
Antena: 48
cm Sombra:
44 cm
Ángulo:
42º 30' 37,61''
Ávila 17 - 4 - 2007 (olvidé la antena...)
14:20
Poste: 74
cm
Sombra: 41
cm
Ángulo:
28º 59' 19,76''
14:24 Poste:
130 cm
Sombra: 75
cm
Ángulo: 29º
58' 53,9''
14:30 Poste:
275 cm
Sombra: 164
cm
Ángulo: 30º 48'
37,13''
14:38
Poste: 275
cm Sombra:
168
cm
Ángulo:
31º
25' 16,09''
Aquí podéis ver la antena dando sombra junto al
palacio de Buckingham:
Y aquí la antena junto a la puerta de San Vicente de las
murallas de Ávila
Las ardillas
londinenses estuvieron muy atentas al experimento:
Las cuentas no son complicadas:
El ángulo lo obtengo por trigonometría
básica: la tangente del ángulo
$$ \tan a = \frac{\text{longitud del poste}}{\text{longitud de la sombra}} $$
La diferencia de ángulos nos da lo que en el diagrama
había llamado el ángulo a:
$$ a = 42^\circ 30' 37.61'' - 31^\circ 25' 16.09'' = 11^\circ 5' 21.52'' $$
Conociendo la distancia entre Londres y el punto que está en
la
misma latitud que
Ávila pero en la misma longitud que Londres (1210 km) y la
diferencia entre los ángulos de la sombra en las dos
ciudades,
puedo calcular
el radio de la tierra, puesto que si la longitud de una circunferencia
es:
$$ l = 2 \pi r $$
que corresponden a los 360º de la circunferencia, por tanto,
nuestros 11º y pico darán un arco de longitud
proporcional
al ángulo. De esa ecuación podemos despejar el
radio, que
es el dato que queremos conocer:
$$l_\text{arco} = a \times \frac{2 \pi}{360^\circ} r \Rightarrow r = \frac{l_\text{arco} \times 360^\circ}{a \times 2 \pi} $$
donde l es la longitud del arco, a es nuestro ángulo y r es
el radio de la Tierra.
Luego el radio de la Tierra es:
$$ r = \frac{1210 \text{ km } \times 360^\circ}{11^\circ 5' 21.52'' \times 2 \pi} =6251.77 \text{ km} $$
¡6.251,77 km!. El radio medio real de
la
Tierra es de 6.378,14 km, por lo que sólo
he cometido un error de
$$ 100\% - \frac{6251.77 \text{ km}}{6378.14 \text{ km}} \times 100 = 1.98 \% $$
tan sólo un 1,98%. Es increíble que con los materiales que he utilizado se obtenga
un
resultado tan bueno. Sin duda éste es uno de los
experimentos científicos más simples, eficaces y
sencillos.
Dedico esta
entrada a
todo el mundo que me ha aguantado cuando soltaba el rollo del
experimento, y en especial a Clara y María Eugenia, que me
soportaron durante todo el viaje por Londres.
Publicado el 22 de abril de 2007.