Vamos a ver como se puede determinar la masa de la Tierra de una forma
muy sencilla. Hace ya unos meses medimos su tamaño por medio
del
experimento
de Eratóstenes. ¿Lo recuerdas?.
Dedujimos que la Tierra tenía un radio de 6.251,77 km.
El otro día, hablando con un amigo (gracias Alvar) sobre
gravitación, me di cuenta de que haciendo otro
sencillo
experimento podía determinar también su masa. Os explico:
Newton desarrolló su Ley de la gravitación
universal, que se resumía de la siguiente manera:
La fuerza de
atracción entre dos cuerpos cualesquiera es directamente
proporcional al producto de sus masas respectivas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros de
gravedad.
Esto, puesto en el lenguaje de las matemáticas significa:
$$ F = G \cdot \frac{m \cdot m'}{r^2} $$
donde:
F = Fuerza de atracción
G = Constante de gravitación universal
m = masa de un objeto
m' = masa del otro objeto
r = distancia que separa sus centros
También hablamos un día de las
tres leyes
que nos dio Newton y que explicaban la mecánica
clásica a la perfección. Tomaremos su segunda ley:
La fuerza que
actúa sobre un cuerpo es directamente
proporcional a su aceleración y a su masa.
Ya lo dice el nombre, la fuerza de atracción, es una fuerza,
por
lo tanto es proporcional a su aceleración, y todo esto
llevado a
nuestra vida diaria, la fuerza que hace que las tostadas caigan al
suelo (independientemente de que lado) es proporcional a la
aceleración gravitatoria. Formulado, esto es:
$$ F = g \cdot m $$
donde:
F = Fuerza de atracción
g = aceleración gravitatoria
m = masa de un objeto
Esta fuerza es exactamente la misma que la primera
ecuación, es decir:
$$ G \cdot \frac{m \cdot m'}{r^2} = F = g \cdot m $$
por lo que el término correspondiente a uno de los objetos
se
puede despreciar y se simplifica la ecuación un
montón:
$$ G \cdot \frac{m'}{r^2} = g $$
y, ¿qué es
m'? pues es la masa del otro objeto,
es decir,
la masa de la Tierra, que es lo que queremos calcular. r es la
distancia que nos separa del centro de la Tierra, es decir, el radio de
la Tierra, el dato que calculamos en el anterior experimento.
Así pues nos faltan dos datos G y g:
G es la constante de gravitación universal, una constante que
nos relaciona las masas y la distancia con la fuerza. Se puede calcular
su valor por medio del
experimento de Cavendish,
pero yo no tengo una subvención de la Royal Society para
comprar
un torsímetro y un montón de esferas enormes de
plomo.
Así que este valor lo tomo directamente de su experimento (
aunque no era en realidad lo él
estaba buscando):
$$ G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2\text{/Kg}^2 $$
g es la
aceleración de la gravedad. Este es el dato que voy a
calcular
por medio de un experimento. Bueno, en realidad por medio de dos
experimentos. La aceleración de la gravedad se puede
determinar
de muchas maneras. Una de las más sencillas es con un
péndulo.
Los péndulos, cuando oscilan con amplitudes menores de
5º,
su periodo de oscilación es independiente de la masa y
naturaleza de la partícula oscilante y, asimismo,
independiente
de la amplitud de oscilación. De tal forma que el periodo de
oscilación sólo depende de la longitud del hilo
del
péndulo y de la aceleración de la gravedad:
$$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}} $$
Despejando obtenemos la ecuación que nos permite calcular g:
$$ g = \frac{4 \pi^2 L}{T^2} $$
Así que hice un péndulo con hilo y unas arandelas
de
acero y lo colgué de la antena del anterior experimento, de
tal
forma que no le afectase ninguna corriente de aire. El hilo
medía 118 cm de longitud.
Retiré el extremo del péndulo 5 cm (para tener un
ángulo menor de 5º) y cronometré 25
periodos (idas y
venidas) para obtener un valor promediado. El péndulo
tardó en ir y venir 25 veces 54,75 segundos. Así
que el
tiempo que duraba un periodo era de 2,19 segundos. Sustituimos en la
fórmula:
$$ g = \frac{4 \pi^2 \cdot 1.18 \text{ m}}{\text{(2.19)}^2} = 9.71 \text{ m/s}^2$$
Ya tenemos el primer resultado. Pero hay otra forma sencilla de medir
la aceleración de la gravedad. Una vez en el colegio hicimos
una
rampa por la que dejábamos caer canicas de acero y las cronometrábamos.
Pero eso era muy aburrido, así que, se me ocurrió
hacerlo
al estilo de Galileo en la torre de Pisa
Por eso, llamé a dos amigos, Edu y Emilio, y nos fuimos a
una presa que hay cerca de Ávila a medir cuanto tiempo
tardaba en caer al agua una piedra desde el dique. Primero tuvimos que
medir la altura a la que estaba el punto desde el que íbamos a tirar la
piedra, para ello, atamos un peso a una cuerda, lo dejamos caer hasta que tocó el agua y
luego medimos la cuerda utilizada con un metro. La altura de la presa
era de 11,8 m.
A continuación, dejamos caer las piedras:
El tiempo lo he medido con el ordenador, pasando el video a
cámara muy lenta,
imagen por imagen (frame to frame), y anotando el tiempo de cada
imagen, los cálculos del vídeo nos dan un resultado
de
$$ g = 9.63 \text{ m/s}^2 $$
Pero, ¿Cuál
es el valor de la gravedad real en Ávila? En el colegio siempre
utilizábamos 9,81 m/s^2 pero el valor de la gravedad no es
constante, porque depende de la altura, la latitud, la
composición de las rocas que tenemos debajo... Según el
programa de la
PTB, la gravedad en Ávila es de 9,7995 m/s^2
De nuestros resultados, el más correcto es el del
péndulo, pero como no queremos que una parte de nuestro trabajo
sea en balde, haremos una media de los dos:
$$g = \frac{9.63 \text{ m/s}^2 + 9.71 \text{ m/s}^2}{2} = 9.67 \text{ m/s}^2 $$
Y sustituimos en la ecuación que dedujimos arriba del todo:
$$ M_T = \frac{r^2 \cdot g}{G} = \frac{(6.242 \times 10^6 \text{ m})^2 \cdot 9.67 \text{ m/s}^2}{6.67 \times 10^{-11} \text{ m}^3\text{/s}^2 \text{ kg}} = 5.648\times 10^{24} \text{ kg} $$
Es decir que la Tierra, con
todas sus montañas, océanos, casas y personas pesa
5.648.000.000.000.000.000.000.000 kg, es decir, cinco cuatrillones
seiscientos cuarenta y ocho mil trillones de kilos. Pero estos son mis
cálculos, ¿cuánto pesa en realidad?
Según la
wikipedia, la tierra pesa 5,974 · 10^24 kg, por lo que he cometido un error de:
$$ 100\% - \frac{5.648 \times 10^{24}\text{ kg}}{5.974 \times 10^{24}\text{ kg}} \times 100 = 5.4\% $$
Aunque la mayoría
del mérito lo tiene Cavendish, no está nada mal
este error viendo que he medido y he pesado la tierra con un
metro, una antena, una bobina de hilo y un puñado de piedras.
